تجزیه اولیه برای حلقه های نوتری چپ

چکیده: تجزیه اولیه ی زیر مدول ها تعمیمی از مفهوم شناخته شده ی تجزیه اولیه ی ایده آل های یک حلقه می باشد. زیرمدول n از r-مدول m دارای تجزیه اولیه است اگر بتوان آن را به صورت اشتراک تعداد متناهی از زیرمدول های اولیه ی مدول m نوشت. اگر m مدولی متناهیاً تولید شده روی یک حلقه ی نوتری تعویض پذیر باشد، هر زیرمدول n از m دارای تجزیه اولیه است. در این پایان نامه تجزیه ی اولیه برای حلقه های نوتری چپ را مورد بررسی قرار می دهیم، که تعمیمی از تجزیه اولیه روی حلقه های نوتری تعویض پذیر می باشد. به این منظور ابتدا طیف چپ حلقه که تعمیمی از طیف اول حلقه در حالت تعویض پذیر است معرفی می شود و نشان می دهیم که اگر r حلقه ای تعویض پذیر باشد تناظری دوسویی بین طیف اول حلقه و طیف چپ حلقه برقرار است. پس از آن به بررسی اول های چپ وابسته به مدول به عنوان تعمیمی از اول های وابسته به مدول روی حلقه های تعویض پذیر می پردازیم. در ادامه تعمیم دیگری از تجزیه اولیه ی یک مدول یکانی نوتری روی یک حلقه ی دلخواه مطرح می کنیم و این تجزیه را برای خانواده ی بزرگتری از مدول ها تعمیم می دهیم. این خانواده از مدول ها را به طور یکنواخت متناهی می نامیم و نشان می دهیم که برای حلقه ی دلخواه r، هر مدول m با این ویژگی که هر خارج قسمت از آن دارای بعد یکنواخت متناهی باشد دارای تجزیه اولیه است. سپس به معرفی کوتاهترین تجزیه های اولیه و کوتاهترین تجزیه های اولیه ی ماکسیمال می پردازیم و ثابت می کنیم که برای هر زیرمدول از یک مدول به طور یکنواخت متناهی، کوتاهترین تجزیه اولیه وجود دارد و هر کوتاهترین تجزیه ی اولیه مشمول در یک کوتاهترین تجزیه اولیه ی ماکسیمال است. همچنین به بررسی تجزیه های یکنواخت می پردازیم و ثابت می کنیم که هر تجزیه اولیه می تواند به یک تجزیه ی یکنواخت تبدیل شود. در ادامه دو ساختار ارائه می کنیم که به ترتیب همه ی کوتاهترین تجزیه های اولیه و همه ی کوتاهترین تجزیه های یکنواخت را توصیف می کنند. این دو ساختار نشان می دهند که تجزیه های اولیه در حالت کلی بسیار غیر یکتا هستند. در نهایت طیف یکنواخت مدول m در ?[m] را به عنوان تعمیمی از طیف چپ مدول معرفی می کنیم. سپس اول های وابسته به مدول n در ?[m]را تعریف می کنیم و به کمک این مفاهیم به معرفی تجزیه اولیه برای زیرمدول ها در ?[m]می پردازیم. در آخر ساختاری برای توصیف همه ی کوتاهترین تجزیه های اولیه و کوتاه ترین تجزیه های یکنواخت زیرمدول ها در ?[m] ارایه می دهیم و نشان می دهیم در صورتی که r یک حلقه ی نوتری تعویض پذیر باشد و m = r این تجزیه اولیه با تجزیه اولیه ی کلاسیک مدول ها روی حلقه های تعویض پذیر در r?mod منطبق است.